费马_\大定理

　　本片从_/证明了费玛最后定理的安德鲁‧怀*#尔@/:斯 An;/drew Wiles开始谈起，描述了 Fe.# .rmat/:?&#:39s : La(=st?*-[? # Theo+rm 的历史始末，?往前回溯来看，1994年正是我在 .`念大学的时候，当时完全\)没 有一 位教_+授在;课堂上提;=到这件事，也许他们认@为，*$ 
一位真正的研究者，自然而然地;会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走]向更高深的专业认知?，而指.*引的!`#道路， *\就在科普的精- 神上。　　从费玛最后*_(定理的-历史中可以发现，有许多研究成果，;都是研究人: 员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后$/)再+ 尝试用逻 $辑验证。　　=+费玛最后定+理：*/-xn+-y[).n=zn 当 n>2 时，不存$在整 数解　%　1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 %).An/]drew Wiles被埃里克‧坦普尔/]‧;贝尔 Eric Temple/,/ /^Be)/_l)?#l 的一
,本书=吸引，「最后问题 ^#`The Las*\t #/Pro_b.lem」，故事从这里开始。　\　)2$!. 毕达哥拉斯 Pyt #hagoras 定理，任一个直 [角三 角@形，斜边的平*-% 方=另外 /两边的平方和　　x2+,y2=z2　　毕;达哥/^$;拉斯三])元[组：毕氏定理的整数解_+　　3.@ 费玛 Fermat 在
,!研究丢番图 ]D=_iop%hantus 的「 (算数」第2\ +卷的问;?题8时，在页边写下了註记　　「不可能 !)将一个立-方数写成两##个立方数之和(；或者将.=^一个四次幂_写成两个四\ 次幂之和；或者，总#的来说，不可能将一个高=;[於2次幂，写成两个同样次幂的和。」//*　　「对这个命\题我有一个十分美妙
的证明，这里?空白太小* ，@./.写不)下。」　-　4. 1670年，费玛 Fermat= +的儿子出版了载 有;?.`F?-^erm+,at)=:註+(记的「]=丢番图的算数」　　5. 在Fe;
rmat的其他註记中，隐# 含了( 对 n=-4 的证#明 ^=&]$gt n=8, 12, 16, _20 ... 时无解　=*　;莱昂哈?\[德‧欧拉 Leonhard Eul=, er 证明了 +n=3 时无解 =&g@,
t n=6, 9, 12,
$ *15 _$... 时无解?!　　3是(]质数，现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立　　但 欧基里德/ 证明「存在[; 无穷多个质数,; 」　　6_#. !+1%776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明( $了 #费玛最后定理 &qu_ot大概&)\qu %o]_t 无;
+解　　)7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利\克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让\德 延伸热尔曼的证明，证明了 n=5 无解　　8.;.( 18`*)39年 =加布里\尔‧]拉梅 Gabri@)el`:$ La\_me 证明了 n=7 无解　　9. 1847年 : !\_拉-+梅 与 *奥古斯汀‧路易斯‧科西 !Augu#sti L#$ouis Cau\c] hy
_ 同时宣称已经证明了])! 费 玛^`最后定理　　最后是刘维尔. 宣读_[了 恩斯特 ),‧库# 默尔 Ernst- $#Kummer_==:  !的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质;?」而失败　　库默尔;]证明了 费玛最后定理的完整\证明^+[ 是当时数学方法不可能实现的　　10.1908年 
保罗‧沃尔夫:斯凯尔 Paul Wolfskehl 补.救了库默尔的证明　　这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决　　沃尔夫斯 !凯尔提供了 10万马_?克 给/
提供证明!的人，期限是)到_?`].2007年9月13日止　　11.1900年8月8日 大卫‧][_希尔伯特^^，提出数学上 -\23个未解决的问题且相信这?;是?迫_切需*要解),!决的重要问题　　12.1-*@931年 库^=特‧:哥德尔
 -=@不可判定`性定理=?.%　　第 _一不]=:可判定性?? 定理*：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能]证明又不能否]^;*定的定?/:;理。　\　. .)=> 完全性是不可能达到的　　第二不可判定性?定理：不存在#@,能证明公理,系统是相容的构造`*$性过程。　　=> 相容性永远不可能证明　　13.$ 196]#3年 [-_保罗‧科恩 Paul `Cohen 发展了可以检验给- 定问:题
,$是不是不可判定的方法（只))%
适用少数情形]）　　证明 ]希尔伯 特,23个问题%中，其中一个「.;连续统假@设」问题是不可判定的，这对於费 玛最!/后定理来说是一大打击　　- 14.1940年 阿伦‧图灵 Alan@\ Tur^,ing 发明破译 Enigma编码 的(反转机　　开始有人 利用暴力解决`#方法，]^要对 ,费玛最后定理 的n.]值一*个一 个加以证明。*　　%=15.1988年 __内奥姆^;‧埃尔基斯 Naom Elkies@% 
_对於*( Euler 提出的 #
x4+y4+^)#z4=!@w4 不存在解]!这个推想，找到了( `;一[,个反例　　268244==!04+153656394+1] 879604=206156734　^.#　16.%* 1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wile/]/;%s 师承 约翰‧+(!科次，研究椭##圆曲线　_+,　研究椭圆曲线的--目的是要算出他们+的整数: 解，这跟费玛最后定理一样　　ex: y2=: x3-2 只有一
@组整数解 52=33-2　$　(费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是^@夹在一个平方数_/ 与一个立方数中间)　　由; @於要`
直接找@@,出;,;椭圆曲线是很困难  
的$`)\，为了简化 ,问题，#数学家採用#,「时鐘运\.算」方法# 　　在五格时鐘运算中， 4+2=1\+?　　椭圆=方程式 x3-x:2=y2+y　*?$　所有(可能的解为 (?)-
x, y)=) )(0, 0) [(0, 4)+-! [(1,, 0 ]) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表+ 在五格_ 时鐘运算中，[$有四个解　　对於=@./椭 #% 圆曲线，可写出 /一个-,-% E序列 E1?; =1, \E2=4]_$, ....:=.　　1!7;@..19(_`54年 至村五郎 与 谷山丰 研+究具有非同寻常的对 ,称
^` 性的 modula)*]r form, 模型式　　模型式的要素可从1开始标\
号到无穷（M1, M2^
, M3, ...）　　每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M)1=1 M2%$=3# ....+ 这样;的范例　　1955年9月 提出`,模- =/型 式的 @$M序列 可以对应到椭圆曲线的@: E序列，两_个不同领域的理论突然`被连接在一起　　^安德列)[!‧韦依^ 採纳这个想法，「谷山-志村猜想」　　 \18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计?画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链　　19.1984年 格哈德‧弗赖^.  G:()`erhard :^.]F* _rey 提出　　((1+) 假设费玛^)最后定理是+错的，则 x)n+y]+ [n=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN\-BN)x2-ANB* N `这样的椭圆

方程(^式;$　　(2) 弗赖椭!圆方程;式太古怪了，以致於无法被模型式化　　(3_])+% 谷山-志 =村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模$$型式+#化　　(4) \谷山-志村猜想 是错误的　 (　反过来说　,#　(1) :]如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆`方程式 都=`;可以被模型式^
@*化　　(2) 每一个椭圆+#方@程 #式都可以被模型式化，则不存在弗赖(椭圆%?方(_\程式　　(3) 如果不存!=在弗赖椭圆+-方程_*;式，那么xn+yn=zn/ 没有整^数 解　　(4) 费玛最后定理是对的　! 　20.1986年 肯‧贝:里特\ ,/证明 弗赖椭圆,$
方程式无法被模型式化　　如果有人能够证_:明谷山-志村猜/(]$
想，*就表示费玛最后定理% ,也是 )`正确 +=的　　]`21.:,1986年 安德,=!(鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles, #开始一个小阴=!谋，他每隔6个月发表一篇小论文，然后自^; 己独力尝试@ 证明谷山-志村-;猜-想，策=:略\ 是利用归纳法=+，加上 ] 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一 对应到M序列^)　　22.1988年 宫冈洋一 发表[)#利用微分几何学证明,谷山-志 (村猜想，但结果失败　　23.198=9年 安德鲁‧怀尔/斯 Andr[ ew Wiles ^$ 已经将椭$!圆方程式拆解成无限多项，
然后也证明了第一项必定是模型式
的第一项，也尝试 ?\利用 依娃沙娃^ Iwasawa 理^论) ，但)\结果失败　　24.[[:199=2年 修改 科利瓦金-弗莱契 $方法，对所有 \_分类后的椭圆方^程式都奏效　\:;　2,5.1993 年 寻求同事 尼克‧凯兹 Ni=,ck Katz 的协*.)助.^.?，开始对验 证证明　　26.1993年5月 「L #-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew., Wiles 发表谷山-志村猜想的证明　, -　27.19[9)3.年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷　　安德,鲁‧怀尔斯 An]:%*d]r#$ew W*?iles@$\ 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望;^在这时候公布%)]%证明，让其他人分享完成证明的
=甜美果实　　  28.安德\]鲁‧怀 _/尔斯 )@%(Andrew W$\iles 在`接近放弃的边=)
缘，在彼)_得‧萨纳克的建议下，找到理查_德‧泰勒的协助　　29.1994年9%月19日 ]发现结合 依娃沙娃 Iwasaw$a 理@ 论与 科利瓦金-弗莱契 方+,法就能;
够完全解决问题　　3! 0.「谷山 -志 # 村猜=想」被证明了，故得证「费玛
[%
=最后 -定理」　　ii　　费马大定 理)
　　,?3*00多年以前$，法国数学家费马在一.本书的(=^空白处写下了一$`个定理：[@_“设n是 -大于2的正$整数，则不定方
程xn/@=+yn=zn[没有非零整数解”。　　
- !)费马宣称他发现了这个定理的一]个真正奇?/妙的!证-- 明，但因]%书上空%白太小，他写不-%,$下%[他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和#.业余数学爱好者绞*尽脑汁企图`证明%
它 ]，但不是无功而返就)!+是进展甚微。这就是?纯数 学中最着名的@#;定理!—费马大定理。　　费马(.# 1? 6)01年～?@ \166)+5年)是一位具有-传奇色彩的数(=学@\
家，他最(*-初学习法律并以当律[.师谋生，后来成:+为议会议员，数
学只不过是他的业余$ -爱好，!#*只能利用闲暇:,来 @\研究。虽[+@然/年近3@;0,$才认真注$意数学，].但费马  对数论和微积分做\出了- 第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论;的探索者=`之一。费马=, 特别\爱好数论?. ，提出了许多定理，但费马只对其中一
个/%定理给出 
了证明要点，其他定理除一个;[被!证\@_明是错.+的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是 ,?最后一个#-未被 % 证明对或错的定理，所以 \又称为费+#马最后定理。　　-费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，?\[但已经有了?`很大进展，特别是最近几十年，进展更快。197:6年瓦格斯塔夫证明了对小于10/5的素数费马_大定理都成立。1983年一位年轻[ 的德国数学家法尔廷斯证明了不定 %[方程x(?n+y+n=zn只:能@有有限多组解，他的突出贡献使他在1]+/986年获得了数-学界的最高奖之一费尔/兹奖。1)+9+_9[ %3*\年英国数学家威尔斯宣布)`证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一\* 个漏洞并作了修正。虽==然威尔斯?.证明费马大定理还没有得到数学])^界的一致公认，但!大多数数学家认为他/%证明的思路是正确的。毫
无疑问?，这使人们看到了;\希望。　　为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一,\代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未$?_酬。199-.,5@年，美 %国普林斯顿大学[
的安德鲁-;·怀尔 斯#;,教授经过8年的 (孤军\奋战，\ #用13]?　　0页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯#成为[ + 整个数学界的)英雄。$]　


　费马大定理提,出的问题非常简单，它是用一个每
?个中学生都熟悉的数学定理——毕达　　哥拉斯

定理——来.表达的。2000多年前-^诞生的毕达哥拉斯=(定理说\：在(一个直!:;\)角三角!!+形中，　　斜边的平方等//\于两^-直角边的平方之和。即X2 @＋Y2=-_ Z2。大约在公元16[*-(37年前后 ，#当费马#=^在:-　　研究毕达哥拉$(?斯方程时，他写下一个方%程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn(=Zn,当n　　大于2时，这个方程没/有任何整数解。费马在《+!算术%》这本书的靠近 `(.;问题8的*=页边处记下这　　个结[(%论的同时又写下一个

附加的*评注：“对此，我确信已发现一个)#)-美妙的证法，这里的空　　白:##%太]^)小， -写不下。”这就是数学- 史上着名的费马大定理或称费马最后的定$!理。费马制造了　　一个数学! )`史上最深!\奥的谜。　　大问题　　=;[在物理学、化学或生物学%!,中，还没有_*任何问 \`题可 -以叙 /# 述
%!得如此简单和.-清晰，却长`久不　　解。E·T·贝!尔(Eric (Te.mple
- B- #ell)在他的《大问. 题
.` 》(The`= L,];ast Problem)一
+书中写到-%，　　文明世界也许在费马大定理得以$解决 #^之前就#-/已走到了尽头。证明费 ;-马大定理成为` 数论中最　　值得为之奋!=$斗的事。　　安德鲁· !怀尔斯1953年出@/生在英国剑桥，父亲;是一位.工程学?/;教授。少年时代的@怀尔斯　　@?已着迷于数学了?*。他在!后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我 把它们带回家，`　　编写成[我^自己的新题目。\`不过我以前找到的最好_
-的题目是在#) 我\`-们社区的图书馆_里发现的。　　”
 @一,天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有_ 一个问题而没有解答　　,`+?怀尔斯被吸引住了。　　这``[就是 E·T·贝尔写的《大问题 (_.》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又　　一个的数学家望而生畏，在长达300多=年`的时间里%]没_有人能解决它。怀尔斯30@多年后回 .忆　　=#+起
被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史(;上所有的大数学/-家都未(能解　　决它。这里`正摆着
+我——一个10岁的孩_子——/能理解 \的问题 \_].，从那^!个时刻起，我知道我永　　远不会%(放 弃它_^ 。我必须解决它。”　　怀尔斯1974年从牛津大学[ 的Merto_,(n学院获得数学学士学位，之后/进入剑桥大学Clar?e　+[　学院做博士。;在 #
研究生阶段，@]+怀尔斯并没有从[事费@ :马大定+^理研究。) /他说：“研究费马可能 　]\　带来;+的问^?题(是：##你花费了*!多年 *.的时间而$最终一事无成。我的导师约翰·`]#`科!
*茨(John Coate　　s)正在研_,.究椭
圆?/曲线的I::wasawa理--论，*;我开始跟随他工作;。” 科茨说：“我记+]得一位同事　　告诉我，他有一个非-/
常好的、刚完成?$数学学士荣`\誉学位第三部考?试的学生，他催促我收其　　为学生。我非-常荣幸有安德?++鲁这样,的学,生^##。即使_.(从对研究生的-要求@来看^#(^，他也有很深刻的　 　思想，非常清楚他将是一个/做大%事情的数:,::学家。当然，任何研究生-,在%-那个阶段直接开始]研　　究, 费马大定理是不可能的，即使对资历很] _深的数学家来说，它.也太困难了。$”科茨的责任　　是为 怀尔斯找到某种.至少能使他^在今后-_!三年里有兴趣@去研究的问题。他说：“我认为研究　　生导%师能为学生做的一切就是设#+法把他推(向一个富@有成果]!的方向。当然，不能%保证它一定　　是一个富有成果的研究方向，但\;=是也许$年长的数学家=在)]_这个过程中能做的一件事是:@使用他(　　*(的常识、他对好领域的?;直觉。然后.
?:,，学生能在这个%
#方向上有多大成绩就是他自己的事了。　　”　　 /[-科茨 决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线/`的`领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的　　一个转(折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。　^;@　孤独的$战士　　1980年怀尔斯在剑-??桥大学取得/)博士学位后来到了 美国普林斯顿大,,(学
，并 成为这所大学　　的教-=[(授。在科 茨的指导下,\+，怀尔斯或许 .@^比世界上$^ \其他人都[更懂得椭圆方程，他已经成为一　　个着名的数论学家，但他清楚地意识+$到，即使以他广博的基?,础知识和数学修养，证明费马　　大定理的任务也是极为艰巨 ^的。　　在怀尔斯的)费#+马大定理的证明中，@[核/,;-心是证明“谷山－志**\村猜想,#”，该猜想在*$?两个非　　常不同的/^数@学领域间建立了=+一座新的:桥梁。“(那是1986年夏末的一个傍]*晚，我正在一个朋$　　友家中啜饮冰茶。谈话间:他随意告诉我，肯·里贝特已-经证]!@明了谷山－志村猜想与费马大　　定理间的联系。我感到极大的震动\。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为　!　这意味着为了证 明费马大定理，我必须做的一)!,?切就是证明谷山－志村猜# 想……我十分清楚　　我应]!该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯望见了一条实(*现 他童年梦想的#道路。[　　20世纪初，有人问伟大的数学家大卫· * _希 尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他　　回答说：“在开始着手之前，我必须用3年%+?!`的时间作 )(]深入的研究/\，而我没有那么多的时)间　　浪费在一件可能会失败的事情上。”怀]/[尔斯知道，为了找;:到证明，他(`必须: )全身心\地投入到　　这个*%问题中，但是与希:?尔伯]+特不一样`_.，他愿意冒这个风险。　-;　怀尔斯作了一[个重大的决定：要完全\$-独立和保密地进行][研`究。他#%!说：“我意识到与费　= $　马大定理有关的任@;何@[*事情都会引起太多人的兴趣。 ?!你确实不可[(能很多年都使自己精?
力集?=中　　，除非你的专心%+]不.=被-他[(人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔,斯放弃了所有　　./`与证明费马大定理无直接关系的工`作，任何时候=只要$[可[能他就回到家里工作，.,在家里的顶　　楼书房:里他开始]!-了通:$$ 过,)谷]山－志村
猜想来证明费马=(大定理的战`@斗。　　这是一场长达7年@$的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大:,.%定理。　　欢呼与等待　　经过7年的%!$努力，怀尔斯完成(-了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证-`!明了　　费马大定.]理。现在! 是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要++的会议要在剑桥%*大@^_ 　　学的牛顿
研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会]向一群杰出的听众宣布他的工作;#。他选择　　在牛顿 研究所宣布的另. 外一%个主$要原! 因是剑桥是他的家乡，他曾经+是那里的一名研究生?)。　:-.　1^$9*^93年6^@月23日，牛顿研%究?^)所`%举行了2(;
0世纪最重要的一次数学讲
]:座。两百名数学家聆　　听了\_这一演讲/;，但他们之中只有四分?/之一-` 的人完全懂得黑板上的希腊,字母和代数式所表达+)　　的意思。其余的人来这-\里/是为.了见#^证他们所期待的一个真正具有意义^) 的时刻。]演讲者是安 　　德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演#讲最后:时刻的情景：++“虽然新
/闻界已! :@经刮起有关=演讲的风　　声，很``幸运他们没=
有来听演讲。但, -是听众中有人拍(:摄`-了演.讲结束时的镜,头，研-^?究所所\*长肯　　定事先就准备了一瓶香槟\酒。.当我宣读)证明时，会场上保持着特别庄重_的寂静，当(我;写完　　费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这#[里结=_束’，会场上爆发出一阵*(持久的//鼓掌声　　。”/ $　 /　《\\[纽约时报》在头版以《 ,终于欢呼-= “我发现了!”，$?;久远的数学之谜获解》为题报道　　% 费 `马大定理被\#证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为!;:世界上*最着名的数学家，.也是唯+`?-一的数　　学家。《人物》]* 杂志将 +怀,.尔斯\,与戴安娜王$]*妃一起列为#“本年度2@5+#+位最具魅力者”=。最有创　　意的赞美来自一家国际制衣大-公司，他们邀请这:位温文尔雅的天 才作他们新系)%^列男装\,.的模　　特。　　当怀尔斯成!=为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程+序)要　/$-　求\\任何)数@学家将完整的]#$手,^稿送交一^ 个有声望的刊物，然*:后这个刊物的编辑将它送交一
[组审.　　稿]人， =#审\ 稿
人的._ 职?责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发 /*-明》，整整一个　　夏天他焦[急地等待审稿. 人的意见，并祈求)-能#得到他们的祝福。可@是，证明的一个缺陷被发　　现了。=　　我的心灵:$归于平静　　由` * 于怀尔斯的$/.$论文涉及(`到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔(决定不像通常那^!样指定　　;?@2－3个审稿人，而是6)个审稿人`]。200页的证明被分成6
章，每位审稿人负责其_中一章。　　怀尔斯\,在`此期间中断- 了他的?^工作，以处理审稿人在电子邮,$_件中提出的问题，他自信这　　些问题不会\\-给他造成很大的麻烦
。尼[克·凯兹负责审查第3章，199!/3年8月23日，他+_发现了　　证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每_.一 步都.+`　　行得通;;。怀尔斯以为这又 :是一个小?$问题，补救的办法可:%*能就在近旁，可是;6个多月过去了　　+，错!)误仍未改正*,
,，怀尔斯
面临绝境，他准备^承认失败_:。他向同事彼得·萨克说明自己的.+情　　(况，``萨克!,\.向他暗示困难的一部分+%在于他缺少-_/一个能够*-和他讨论问题并且可信赖的人。经过　:_#　长时# @/间的._!考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大?_学的 讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他[?一起工作　　。　　泰勒+^1994年1月份/]=到普林斯顿，可是到]^了9月，依然没有结: 果)，:他们准备放[弃了。泰勒　　鼓(.励他们$% 再坚持]`一个月。怀尔斯决定在9月底`/作最后 一次检查。`/9月19日，一 个星期一的早　　晨，怀*:尔斯发现了问题的答
案，`他叙述了这一时刻*+,^：“突然间，不可思议地，我有了一个　　难(
以置信的发现。这是@[)我)$的事业中最;:重要的时`刻，我不会再有这;/)样的经 _历?@^……它/的美是如　　此地难以形容；它又是如#
此简单和优?#=美。20多分钟的时 间我呆望它不敢相信。,]=^然后白天我　　到+!系里`^+转了一圈，又回到桌子旁看看它`$是否还!在——它还在那里。”　　这=是少年时代的梦想和8年潜心;努力的终极，怀尔斯;终于向?世界证明了他的才能。世　　)界不_.再怀疑这一, _次的证明了。这.#两篇论文总共)#\有130页，是+\历史上核查得最彻底的数学稿　　$!. 件，它们发表在(* 1995年5月的《数学年刊》上。(怀尔斯再一%$次出现在《纽约时报》的头版　　上.%!，标题*.是《数学家称经典之谜已解,决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最　　终的-.证明可与分裂原子或发现DNA/\的结构相比，对费?_马大[$*!定理=的证;;明是人类智力活动的一　　曲凯歌，同!@#%时，不能忽视的_?+?事]实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对_($我说来，安　　德鲁成果=*^的美和魅力在于它是走向代数数论的巨,%%大的一步。”　　声, :
望和荣誉纷至沓来。;!`#19:@95年，怀尔斯获得瑞典
^皇家学会颁 -?发的Schock数学奖，1%=9%@9　　6年，他获得沃尔夫奖，并当选@
为美国科?学院外籍院士。　　怀尔斯说：“……再$;+没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如　　此少有的特权，在我的成年时期实现我童.^年的梦想…@)#…那段),_特
殊漫长的探索已经结束了，　　我的心$已归于平静。”+\　　费马大定理只有在相对数学理论@的建立=: 之后] .=，才会得到最满意的答案。相对数学理论没有]完成之前[，`
?:!谈这个) 问! 题是无力地.因为人@,?们对数量(和自身的_;认/:*识，% ],
还没有达到一;?*定的高度@@!\.　　iii　　费马大定理与怀尔斯的因果律-美国 公众广播网\(对怀)!*尔斯的专访　?　3 58年的难解之@-谜　　* 数学爱好者费马 :提出的这个问题非常简.^^)单，它用一个每个中学生都[__]熟悉;:的)数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000 多年前诞/(生的毕达哥拉斯: 定理说：^@#在
一个]直:;?角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的_^平方之和。即X2]+Y2=Z2。大约在 /公元1;? 637年前后 ，当:;`费马在研究毕达哥拉斯=方程时，]!他在《算术^#》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的正整# 数，则不定方程xn+yn=*?_zn没有非整数解，# 对?此，
我确信已发现一个^`@;美妙的证法，但这] 里的空白太小-]，写不下。”费马=习惯在页边写下猜!`,想/*，费马大定理是其中困!\扰数学家们时间最# 长*,]的，所以被称为Ferma= -t’s L+]
:ast T(heore*+ ^$m（费马:最后的定理）—$)—公认为-有史以 ) %来最着名的数学猜想。　　在畅销书作家西蒙·辛格.（Simo-n!( S%_[ingh）的笔下 ，这段神秘留
!言引发的长达358年的猎逐充 满了惊险、悬疑 [
、/_绝望和狂
喜。这段历史先后涉,及到最多产的数学大师欧拉、_:+_ 最伟大的数学]!家高斯、由业余转为职业数+学家的柯西、英年早逝的天\才$?伽罗瓦、理论]兼试验大师库默尔和被誉为“法国历史上知识最为高深的女性”\+的,,苏菲·!#姬尔曼……_,!法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学\`界的明日
之星:谷山丰%]的神秘自杀、德国数学爱
?好者保#罗·沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿,_(]佛是冥+冥间上帝导演的+宏() 大;戏剧中的一幕，为最 后谜底的解开埋下--+*伏笔。终
$于，普=\=林斯顿的/=怀尔斯出现了。他找到谜 底*.，把这出[?戏推向高潮并戛然而止，留*[!\下一段耐;/]人回味的传@奇。　　对!怀尔斯而言,，)证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，@$更是_?\去实现一个儿时的梦想。“我]10岁时+;]在图书馆找到:一本数学书，告诉 $我有这么一%[\个问题，300多年前就已经有人解决了它，(_+但却没有人看到;)过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那_以后，人们就=不断地求证。这^是一个10/岁小孩就能明$%白的问题，然::后历史上诸多伟大的数学家们却不能解答。?于是从那时起，我就试过.解!%决它，这个问题就是费马大定理。”　　怀尔斯%于197;0年先后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数学  博士学位。-)*“我进入剑桥时，@我真正`-把^费马大定理搁在一边了。这不是因为我忘了它，?而是我认识 到我们所#%掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使用[`(:了[13+0年。而这些技术似乎没有触及问题根`[+本。”因为担心耗费太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思索，开始研究椭#]圆曲*+,线(^理论—.—这个_看似与证明费马大定理不相关的理^$论后来却成为他实现`;梦想的工具。　　时间回_溯至20世纪60年代，]普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原%$本就 +存在着的,统一的链接。如,,/果$$[这个猜想被证实，意味着在某个数学=(.领域\@ 中无法解答的任何问[题 都有 可能通#?过这种链接被转换成:另一个领域中 @相应的问题——可以被;;一整套新方案解决的*问-题。# -/而如-?果在另一个领域内仍然[难以找_(到答案，那么可以把问题再转换到 下一个数学领;(域中……直到它被解 $` 决为止]。根据朗兰兹-__.纲领，:有一天，数学家们将能够解决-`曾经;*(是最深*:奥最难
-对付的问题;——“办法是领着这些问题周游数学王国的 _各@个风景\胜地”。这@个纲=)领为饱受哥+*德尔不?^完备定理+#@打击的费马大定理证明者*们指明了救赎之路——根+据不完备定理，费马大定$理
是不可证明的@。　(,

　@;/)怀尔
`斯后来正是依赖 (于这个纲 )领^才??得以证明费马大;%定理]^的：_$他的证明——不同于任何前人的尝试 ]——是现代,数\ 学诸多分支（椭,\圆曲线论，模形式理论:，伽罗华/表示理论等等)综合发挥(/作用的结果。20世=纪50年代由两位:_日本数学家（谷山丰和+志村五郎=`?）提出的谷山—志村猜想（Taniya\ma !.-Shimu=ra / /conjectu: re）暗示：椭圆方;程与模形式两个-.
;截然不同的数学岛/屿):=;间隐藏着] 一座沟通 )的桥梁。随后在1984年，德国数学\家格哈德·费赖（Ger!-(hard Frey）`给出了如下猜想：假如谷山]—志村猜想成立，则费马大定理[;为真_;。这个猜想紧接着在1986年%+被肯·( [里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马;-大定理不可摆@ 脱地与谷山—志村猜想链接在一起：如果有人能证明谷山—志?_村猜想:（即“每一个椭圆方程都可以(模形式化”），那么就证明了费马大定 理。　　“人类智力活动的一曲凯歌”　　怀尔斯诡秘的行踪让普林,=斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克-%（Pet[#er Sarnak）回忆[\:说：“ $_@我常常奇怪怀尔斯-;_在做些什么？……他总-+是;静悄悄的_?(，也许他已- ?.经‘黔驴技穷’了。”尼_=^
克· 凯兹则感叹.到：“ 一点暗示@/都++没有！”对于这;次惊天“大预[谋”，肯·里\比%?特（](=Ken Ri;*-/:be .t)曾评价说：“这[.\_可能是我平生来见过的唯一例子\$，`
在如此长的时间里没有泄!露任何有关工作的信息 。这是空前的#!`。　　$:1993年晚春，在/*经过(#反复的试错和绞尽脑汁的演算++，怀 尔斯([终于完成了谷山—志村猜想[的证明。作为一个结果，$他也证明了费马大定理。彼得·萨奈克是最早 得知此消息的人之一
*?，“我目+瞪口呆、异常激动-、情绪失#常……我记得当晚我- 失眠!(了”。　　]?同年^+:6月，怀尔斯^ 决定在剑桥-,`大学的大?;型系列讲^(座上宣布这一=#证明。 “$ %讲座气氛很 \ 热烈，有很多数学#`:界重要人\_物到场 ，当大家终于明白\已经离证明费马大定:理:()一 *步之+[遥时，空气中\)*充满了紧张。” 肯·里比特回忆说。巴里·马佐尔（Barry
$Mazur）永@)@远]=也忘(%不 (了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲,#-座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺 垫，充满悬念
)，直[到最后到达高潮。”当怀尔斯,*在讲座结尾宣布他证=+ 明了费马大定%理时，他成?了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在 _头版以(《终于欢呼“! 
我发现了!”久远_ 的数学之谜获解》（\“At
=Last ] Shout of ‘Eure.@)k?^)a!’ in Age-_-,O
l; *d Math +Mystery”）为题报道%费马大定[:#理被证明的消%息_。一夜之间,
，怀-尔斯成为世界上唯一的数学家/。《人物》.杂志将 *怀尔[斯与戴安_*娜王妃一起列为“本年度25位最
具魅力者”*。　　?%+与此同时，认真@核对这个证明的工[作也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理. (终/ 结者”一-样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得不在巨大的%?压力之/下修正][,错误，其间数度-]感到绝望./。John (/ Conway曾在美国公众广%[+播网（PB^S）的访谈中说%: “当时我$@们其他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘)苏联@政^-=体研究者’，都想]%,
知道他的想法和修正错误的进展，但没有人__开口问他。 /\所以，某%!=人会说，‘我今天早上看到#怀--*尔^斯了。%]]#’‘他露$;=出笑容了吗？’‘他倒)\是有微?+-)笑，但看起[$来并不高兴。’”　　撑到19./94年9月时，怀!:尔斯准备*放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓励他(+再坚持一个月:。就\在截止日到来之前两周， 9月1+9日 ，一个星期* 一的早晨，怀尔斯发现了问题 的答案%，他叙/述了这一时刻 (：“突然间，不可:(
思议地，我/(发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。%我对着它发了20多分钟*呆。然后\我到系^:里转了一,:@圈，又回$^到桌子旁`+看看它(是否还在那里——\
它确实还在那里。”.　　怀尔斯的证明为他赢得了最`慷慨的褒 扬，其中最具代表性的是他在 ]剑桥时的导师、着名
数学家:\约翰·科茨的评价：“/)?它
（证明）是人类;__智力 $活动的一曲凯歌”。?　　一场旷日持久的猎逐就此结束)，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一起，提到一个就不得不提到另外一个*)-。这是.?费\$马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。　　历 [时八年的最终证明　_!　在+\ 怀尔斯不多的接受媒#(体采访中，美国公众广播网（PBS+( ）NO (VA节目对怀尔*斯的专访相当精彩有趣，本)文%=节选部分以飨读者。　　七年孤独　　NOV*A：#!=通常人们通过团队来`!获得工作上的支持，那么#当你碰壁时是怎么解决问题的呢-？ 　　@$怀尔斯：: 当_\`我被卡住时我会*沿着湖%边散散步^^!，散步的好处#_是使你_ 会处于放松状态，同时你的潜意识却在`\继续工作, 。/通常遇到 +
困扰时你并不需=要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦

有好主意我会找个/[长椅坐下来打草稿……　　N(OV!A：这七年
一定交织着 ,自-我 #怀疑与成功…`…你不可能绝.对有把握证明。　　怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨 道上，但][(那并不意?-味着我一定能达到目标——也许%仅仅因为解决! 难`题的方法]超`出现有的数学，+$(也许我
!需要的方法下!个世纪^*也不会出现。$^所]以即便  我在正-确的%轨:道上，我#却可能[生活在错误的世纪。　　NOV,- A：最.])终在1993:年，)你取得了突_^破。　@　\怀尔斯：:-对，那是个5月:=/末的早上?。Na %d].#/a，我的太@太，和孩子们出去了。我坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字($引起了我# 的注意。它提到;_(了一个19世纪的数学=
结构，我霎--时意识到这?+.就是我该用的。我`:!*不停地工作，忘记下楼午饭，到下午三四点时我?确信已经证明了费马大定理，然后 $/_下楼,]。Nada)_很,吃惊.，以为我这?时才回家，我)$\%告(;%/+诉她，我解决了费马大定理%。　　最后的修正　　NOV[ =A：《纽,$约时;报》在头版以《终于欢呼“我发现,;了!
-”，久远的数学之$%谜获解》，但他们并不%知道这个证明中有个错误。　　;;
怀尔斯：那 (, 是个存在于关键推导中的错误，,.但它如此微妙以至于!?我忽略了。它很抽@$ 象，[)我无法用简单的语言描?:述，就算[  !是#数学家也需要研习两三!_个月才能弄懂。　　NOVA：后来你邀请剑桥的数 =;学家理查德·泰勒/.来协助工作，并#在 1994$年修正了这个最后的错误。问 题是，
/你的[`证明和$\ ]费马-!;的证明是同一
?个吗？　　怀尔斯：不可能。这个证明有*;150页长，用的=)是20世纪的方法，在费$马时代还不存在。　　NOVA：那就是说费马.:的最初证明还在;=某个未?;-_被发现的角落？　　怀尔斯：我$.\不相]信他有证明。我觉`得他说\,[已经找到解答了是(在哄 自己。这个难题对业余爱好者如此
特别.在于它可能+*:被17世纪的数学` .证[)]明，尽(+管可能性极其微小.
=。　　NOVA：所以?! _也许#还有数学家追寻这最初的证明。你该]:(怎么办[) 呢？　　怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年+`的热望。`$=我会再试其他*!问题……*-证_^[,明了$@_它
我有=_!一丝伤感，它已经和?*我们一起这么久.了……人们对我说“你把我的问题 \,夺!*走了”，我能带给他们其$/他的东西吗?@？我感觉^%)到有责任。我希望通过解决这个问题带?来的兴.=[;奋可以激励青年\数学家们解)决其他许[许多!
多的难题。　;;　i];v　　谷山-\志村定理(Taniyama=-Sh+#im]*u:.;ra the[:orem)建立了椭圆曲线(代数/
^(几何的对象)和模%形式(某/%?种数论中用到的周期性全纯函数@)之间的重[/$要,_联系。虽然名字是/-]从. 谷山-志村猜想而来,
定理的证明是![由-安德鲁`·怀尔斯, Ch] ris%tophe Breuil,( Bria(?n Conrad, Fred Dia\=mond,和Richard /^Taylor_完`!成.　　若p是#,一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可
)%以简化定义E的方程模p除\了有限个p(!`值，我们会得到有np个元素的_$-有限域Fp上的一@!个椭圆曲线。_]然后考虑如下序列　　ap #
^= ;np @− p##),　　这是椭圆曲线E的重要的不(变量。从傅里叶$@?变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从:[模形式得到的序列相同
,的椭^圆曲线*叫;)/做模] `的。 [谷山-志村定说:　　&q$[uot所有Q上的椭圆曲线是模的: "。　　该定理在1955年9月由谷山丰提出=猜想。到1957;年为止，他?和志村五郎一起改; 进
+了严格性。谷山于,1958年自杀身-亡
?\。,?(_在`,1=960年代，它和统一数学中的猜想Lan#*glan]ds纲领联系了起 #^来，并是关)键的_组成部分#,。猜想由An`[ .dré 
Weil于1  970年代重新提起-^并得到推广，Weil的名字(?有一段时间(_和它联系在一起。`尽管?有:`[明显的用处，这个问题的深度在后来的发展之;\前并未被人们所感觉到。　!?　在1980年 代当Gerhar d Freay建议;
谷山-志村猜想(那时还是猜想)!*蕴含着费马最后定理的时(候，它吸引到了不少^! ;注意力。他通过试图表( `明费尔马#大定理的任何范例会导+?致一个非模$ 的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1-99,5年，And?[rew Wiles和Richard Tay(lor证明了谷``)山.-志村定理的..  一个特殊情况(半稳=定=椭圆曲线的情况)，这个特殊情况 足以证明(,_费尔马大定理。`=　　完整的证 明最后%. 于1999年由B+reuil,$$@Conrad,Diam]/ond,和:Taylor作出，他们在# .=W(.iles的基础上，一块一块的逐步证\\明$!剩
`! ^下的情况直到全部完成。　　数论-中类[ (似于*[费`尔马最后定理得几
个定理可以从谷山(-志村定理`得到。例如:没有立;方可以写成两个,互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知]=-/)　　在1@\996年三月， ,;
Wiles和Robert Langlands分[ \享了沃尔夫奖-。 ,虽(_%然[+他们都没有完成给予他们这个成就的定理的完 整 =#形式，他们还是被认$^=为对最终完成的证明有着决定性影响。